Дан отрезок АВ. Напишите, что является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка. Постройте это геометрическое место точек. Докажите что любая точка, принадлежащая вашему построению равноудалена от концов отрезка.

• Шаг 1: Дано: отрезок АВ.
• Шаг 2: Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка АВ – это прямая, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину. Эта прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку АВ.
• Шаг 3: Построение:
  • Найдем середину отрезка АВ, обозначим ее точкой О.
  • Через точку О проведем прямую, перпендикулярную АВ.
• Шаг 4: Доказательство:
  • Возьмем произвольную точку М на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.
  • Соединим точку М с концами отрезка А и В.
  • Рассмотрим треугольники АОМ и ВОМ: АО = ОВ (О – середина АВ), угол АОМ = углу ВОМ = 90°, ОМ – общая сторона.
  • Следовательно, треугольники АОМ и ВОМ равны по двум сторонам и углу между ними.
  • Из равенства треугольников следует, что АМ = ВМ, то есть точка М равноудалена от концов отрезка АВ.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку.