Дан неопределенный интеграл ∫ sinx cos⁵ xdx. Вычислите его значение.

Решение:

Для вычисления интеграла \( \int \sin x \cos^5 x dx \) воспользуемся методом замены переменной. Пусть \( u = \cos x \), тогда \( du = -\sin x dx \), или \( \sin x dx = -du \).

Подставим это в интеграл:

\[ \int \cos^5 x \sin x dx = \int u^5 (-du) = -\int u^5 du \]

Интегрируем по переменной \( u \):

\[ -\int u^5 du = -\frac{u^{5+1}}{5+1} + C = -\frac{u^6}{6} + C \]

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив \( u = \cos x \):

\[ -\frac{(\cos x)^6}{6} + C = -\frac{\cos^6 x}{6} + C \]

Итоговый ответ:

Ответ: -\(\frac{\cos^6 x}{6}\) + C.