Дан квадрат $$MNPQ$$, точка $$O$$ – центр квадрата. Прямая $$AO \perp MNP$$. Найди $$AM$$, если $$AO = 7$$, $$MN = 24\sqrt{2}$$.

Рассмотрим решение задачи.

1) Так как $$MNPQ$$ - квадрат, то $$MN = NP = PQ = QM = 24\sqrt{2}$$.

2) $$O$$ - центр квадрата, следовательно, $$OM = \frac{1}{2}MP$$.

3) Рассмотрим $$\triangle MNP$$: $$MN = NP$$, следовательно, $$\triangle MNP$$ - равнобедренный прямоугольный треугольник.

4) По теореме Пифагора $$MP^2 = MN^2 + NP^2$$.

5) Найдем $$MP$$:

$$MP^2 = (24\sqrt{2})^2 + (24\sqrt{2})^2 = 24^2 \cdot 2 + 24^2 \cdot 2 = 2 \cdot 24^2 \cdot 2 = 4 \cdot 24^2$$;

$$MP = \sqrt{4 \cdot 24^2} = 2 \cdot 24 = 48$$.

6) Найдем $$OM$$:

$$OM = \frac{1}{2}MP = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24$$.

7) Рассмотрим $$\triangle AOM$$: $$\angle AOM = 90^\circ$$, $$AO = 7$$, $$OM = 24$$.

8) По теореме Пифагора $$AM^2 = AO^2 + OM^2$$.

9) Найдем $$AM$$:

$$AM^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$$;

$$AM = \sqrt{625} = 25$$.

$$ \text{Ответ: } 25 $$

Ответ: 25.