4. Дан куб АВСDA1B1C1D1, ребро которого равно 4, точка М – середина ребра ВВ₁. Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через точку М параллельно плоскости АВ₁С, и найдите площадь этого сечения. 5. Даны плоскость α и прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°. Плоскость а проходит через вершину С параллельно гипотенузе АВ. Известно, что катет AC = 4, медиана AM = √52. Прямая АМ пересекает плоскость а в точке К. Найдите расстояние между точками С и К.

Задание 4

Построение сечения куба плоскостью, проходящей через точку M параллельно плоскости AB₁C:

1. Точка M - середина ребра BB₁.
2. Плоскость сечения параллельна плоскости AB₁C.
3. Сечение проходит через точку M.

Сечение представляет собой параллелограмм. Найдем его площадь.

Так как плоскость сечения параллельна плоскости AB₁C, то сечение будет проходить через середины ребер куба.

Обозначим точки пересечения плоскости с ребрами куба как K, L, N, P.

Получим параллелограмм KLNP.

Стороны параллелограмма KL и NP равны половине диагонали грани куба, т.е. \[\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\]

Высота параллелограмма равна ребру куба, т.е. 4.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту: \[S = 2\sqrt{2} \cdot 4 = 8\sqrt{2}\]

Задание 5

Дано: треугольник ABC, ∠C = 90°, AC = 4, AM = √52, плоскость α || AB, C ∈ α.

Найти: расстояние между точками C и K, где K - точка пересечения прямой AM и плоскости α.

1. Пусть M - середина BC. Тогда AM - медиана.

   Используем теорему Пифагора для треугольника AMC:

   \[AM^2 = AC^2 + CM^2\]

   \[(\sqrt{52})^2 = 4^2 + CM^2\]

   \[52 = 16 + CM^2\]

   \[CM^2 = 36\]

   \[CM = 6\]

   Тогда BC = 2 * CM = 2 * 6 = 12.

2. Рассмотрим треугольник ABC: AC = 4, BC = 12.

   Используем теорему Пифагора для треугольника ABC:

   \[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

   \[AB^2 = 4^2 + 12^2\]

   \[AB^2 = 16 + 144\]

   \[AB^2 = 160\]

   \[AB = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\]

3. Так как плоскость α проходит через точку C параллельно AB, то прямая CK лежит в плоскости ABC.

   Пусть K - точка пересечения AM с плоскостью α.

   Рассмотрим треугольник ABC и плоскость α, проходящую через точку C параллельно AB.

   Точка K лежит на AM.

   Прямая CK лежит в плоскости α и параллельна AB.

   Треугольники AMB и CMK подобны.

4. Запишем отношение сторон из подобия треугольников:

   \[\frac{CK}{AB} = \frac{CM}{MB} = \frac{1}{2}\]

   \[CK = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} 4\sqrt{10} = 2\sqrt{10}\]

Ответ: В задаче 4 площадь сечения равна \[8\sqrt{2}\, ед.кв.\]. В задаче 5 расстояние между точками C и K равно \[2\sqrt{10}\, ед.\]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применены формулы площадей и теорема Пифагора.

Доп. профит: Читерский прием: При решении задач на сечения куба полезно помнить основные типы сечений и их свойства. В задачах на геометрию всегда делай чертеж, это помогает визуализировать условие.