3. 6 5) Ctg Др видите значение выражение: ・sin+2+g(7)+3.00s(2) 5.100-6.sin() 2 П 6 +300g-20gin²+¥2 2) 6) (20075°-jin450)²- Sin² 2)1-6歲歲 = 2. Упростить выражение 2. 2 a) sin 22+ / sind -cos2)² 6) (Sin 2+ cosa) =+ Ctg 2-sind-cost П 13. Представьте в виде произведенные a) 1-20082; cos 5) sinf-sing; 6) cos 50°+ 008 10° sin 4. Докажите тождество tya tha a) sin 52 - Sin 32 Sint = 200942 б) 1-cosx+c0122 =Ctgd. Sin 22-find Mi On hae

Предварительный анализ

Предмет: Математика

Класс: 10-11

Протокол: Решение математических выражений и доказательство тождеств.

Решение:

1. Вычислите значение выражения:
   3sin(π/6) + 2tg(-π/4) + 3cos(-π/2)
   (5tg0 - 6sin(-π/6))
   3sin(π/6) + 2tg(-π/4) + 3cos(-π/2) = 3*(1/2) + 2*(-1) + 3*0 = 3/2 - 2 = -1/2
   5tg0 - 6sin(-π/6) = 5*0 - 6*(-1/2) = 0 + 3 = 3
   (-1/2) / 3 = -1/6
2. Вычислите:
   ctg(2π/6) + 3cos(π/3) - 2sin²(2π/4) + 4/3tg²(2π/3)
   ctg(2π/6) = ctg(π/3) = 1/√3
   3cos(π/3) = 3*(1/2) = 3/2
   -2sin²(2π/4) = -2sin²(π/2) = -2*(1)² = -2
   4/3tg²(2π/3) = 4/3tg²(π - π/3) = 4/3(-√3)² = 4/3 * 3 = 4
   1/√3 + 3/2 - 2 + 4 = 1/√3 + 3/2 + 2 = (2√3 + 3 + 4√3) / (2√3) = (6√3 + 3) / (2√3) = (2√3 + 1) / (2/3)
   (2√3 + 1) / (2/3) * (√3/√3) = (6 + √3) / 6
3. (cos75° - sin45°)² - sin²(π/3)
   (cos75° - sin45°)² = (cos(45°+30°) - sin45°)² = (cos45°cos30° - sin45°sin30° - sin45°)² = (√2/2 * √3/2 - √2/2 * 1/2 - √2/2)² = (√6/4 - √2/4 - √2/2)² = (√6 - √2 - 2√2)² / 16 = (√6 - 3√2)² / 16 = (6 - 6√3 + 18) / 16 = (24 - 6√3) / 16 = (12 - 3√3) / 8
   sin²(π/3) = (√3/2)² = 3/4
   (12 - 3√3) / 8 - 3/4 = (12 - 3√3 - 6) / 8 = (6 - 3√3) / 8 = (3(2 - √3)) / 8
4. 1 - 6sin(π/12)cos(π/12) = 1 - 3sin(π/6) = 1 - 3*(1/2) = 1 - 3/2 = -1/2

Упростить выражения

1. sin2α + (sinα - cosα)² = sin2α + sin²α - 2sinαcosα + cos²α = sin2α + 1 - sin2α = 1
2. (sinα + cosα) / (ctgα - sinαcosα) = ((sinα + cosα) / 1) / (cosα/sinα - sinαcosα) = (sinα + cosα) / ((cosα - sin³αcosα) / sinα) = (sinα(sinα + cosα)) / (cosα(1 - sin²α)) = (sinα(sinα + cosα)) / (cosαcos²α) = (sinα(sinα + cosα)) / (cos³α)

Представьте в виде произведения

1. 1 - 2cosα
   Здесь нужна формула преобразования, но я не вижу ее.
2. sin 6° - sin 9°
   sin 6° - sin 9° = 2cos((6+9)/2)sin((6-9)/2) = 2cos(7.5°)sin(-1.5°) = -2cos(7.5°)sin(1.5°)
3. cos 50° + cos 10°
   cos 50° + cos 10° = 2cos((50+10)/2)cos((50-10)/2) = 2cos(30°)cos(20°) = 2 * √3/2 * cos(20°) = √3cos(20°)

Докажите тождество

1. sin 5α - sin 3α = sin α / (2cos 4α)
   sin 5α - sin 3α = 2cos((5α+3α)/2)sin((5α-3α)/2) = 2cos(4α)sin(α) ≠ sin α / (2cos 4α)
   Тождество неверно
2. (1 - cos α + cos 2α) / (sin 2α - sin α) = ctg α
   (1 - cos α + cos 2α) / (sin 2α - sin α) = (1 - cos α + 2cos²α - 1) / (2sin αcos α - sin α) = (2cos²α - cos α) / (2sin αcos α - sin α) = cos α (2cos α - 1) / sin α (2cos α - 1) = cos α / sin α = ctg α
   Тождество верно

Ответ: Решения выше