cosX+cos3X=cos2X

Решение:

Воспользуемся формулой суммы косинусов: \( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \).

1. Сгруппируем члены: \( \cos X + \cos 3X = \cos 2X \).
2. Применим формулу суммы косинусов к левой части: \( 2 \cos \frac{X+3X}{2} \cos \frac{X-3X}{2} = \cos 2X \).
3. Упростим: \( 2 \cos 2X \cos (-X) = \cos 2X \).
4. Так как \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \), получаем: \( 2 \cos 2X \cos X = \cos 2X \).
5. Перенесём все члены в одну сторону: \( 2 \cos 2X \cos X - \cos 2X = 0 \).
6. Вынесем общий множитель \( \cos 2X \): \( \cos 2X (2 \cos X - 1) = 0 \).
7. Отсюда получаем два случая:
• Случай 1: \( \cos 2X = 0 \)

Тогда \( 2X = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( X = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

• Случай 2: \( 2 \cos X - 1 = 0 \)

Тогда \( 2 \cos X = 1 \), \( \cos X = \frac{1}{2} \).

\( X = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( X = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \) и \( X = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).