cos x + cos 3x = 0

Решение:

Используем формулу суммы косинусов: \( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \).

В данном случае \( A = x \) и \( B = 3x \).

1. Применяем формулу: \( 2 \cos \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} = 0 \).
2. Упрощаем: \( 2 \cos \frac{4x}{2} \cos \frac{-2x}{2} = 0 \).
3. Получаем: \( 2 \cos(2x) \cos(-x) = 0 \).
4. Так как \( \cos(-x) = \cos(x) \), уравнение принимает вид: \( 2 \cos(2x) \cos(x) = 0 \).
5. Это означает, что либо \( \cos(2x) = 0 \), либо \( \cos(x) = 0 \).
6. Случай 1: \( \cos(x) = 0 \)
7. \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — целое число.
8. Случай 2: \( \cos(2x) = 0 \)
9. \( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — целое число.
10. \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) и \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \), где \( n, k \) — целые числа.