cos($${\frac{\pi}{4}}$$)sin(x) + sin($${\frac{\pi}{4}}$$)cos(x) = $${\frac{2\sqrt{3}}{4}}$$

Решение:

Данное выражение является формулой синуса суммы углов: \( \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) \).

В нашем случае \( \alpha = \frac{\pi}{4} \) и \( \beta = x \).

Таким образом, левая часть уравнения равна:

• \( \cos(\frac{\pi}{4})\sin(x) + \sin(\frac{\pi}{4})\cos(x) = \sin(x + \frac{\pi}{4}) \)

Правая часть уравнения равна:

• \( \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Мы знаем, что \( \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Приравниваем полученные выражения:

• \( \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Теперь решаем тригонометрическое уравнение:

• \( x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \) или \( x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in ℤ \) (множество целых чисел).

Первый случай:

• \( x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)
• \( x = \frac{4\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k \)
• \( x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k \)

Второй случай:

• \( x = \pi - \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)
• \( x = \frac{12\pi - 4\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k \)
• \( x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k \), где \( k \in ℤ \).