Решение тригонометрического уравнения

Для решения тригонометрического уравнения 2cos²x + sinx - 1 = 0, нужно свести его к одной тригонометрической функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: sin²x + cos²x = 1, откуда cos²x = 1 - sin²x.

Подставим это выражение в уравнение:

$$2(1 - \sin^2 x) + \sin x - 1 = 0$$

Раскроем скобки и упростим:

$$2 - 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$$

$$-2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0$$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от минуса перед квадратом:

$$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$$

Сделаем замену: t = sinx. Тогда уравнение примет вид:

$$2t^2 - t - 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно t. Дискриминант D = b² - 4ac = (-1)² - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9.

Корни квадратного уравнения:

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1 + 3}{4} = 1$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$$

Вернемся к замене sinx = t. Получаем два уравнения:

1. $$sinx = 1$$
2. $$sinx = -\frac{1}{2}$$

1. Решение уравнения sinx = 1

Общее решение уравнения sinx = 1 имеет вид:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

2. Решение уравнения sinx = -1/2

Общее решение уравнения sinx = -1/2 имеет вид:

$$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi m = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

• $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$
• $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
• $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$