Compare the fractions: a) 4/9 and 8/15 b) 5/12 and 7/18 c) 37/115 and 38/175 d) 9/65 and 16/117

Решение:

Чтобы сравнить дроби, приведём их к общему знаменателю.

а) \( \frac{4}{9} \) и \( \frac{8}{15} \)

• Общий знаменатель для 9 и 15 — это 45.
• Приведём дробь \( \frac{4}{9} \) к знаменателю 45: \( \frac{4 × 5}{9 × 5} = \frac{20}{45} \).
• Приведём дробь \( \frac{8}{15} \) к знаменателю 45: \( \frac{8 × 3}{15 × 3} = \frac{24}{45} \).
• Сравниваем \( \frac{20}{45} \) и \( \frac{24}{45} \). Так как \( 20 < 24 \), то \( \frac{20}{45} < \frac{24}{45} \).

б) \( \frac{5}{12} \) и \( \frac{7}{18} \)

• Общий знаменатель для 12 и 18 — это 36.
• Приведём дробь \( \frac{5}{12} \) к знаменателю 36: \( \frac{5 × 3}{12 × 3} = \frac{15}{36} \).
• Приведём дробь \( \frac{7}{18} \) к знаменателю 36: \( \frac{7 × 2}{18 × 2} = \frac{14}{36} \).
• Сравниваем \( \frac{15}{36} \) и \( \frac{14}{36} \). Так как \( 15 > 14 \), то \( \frac{15}{36} > \frac{14}{36} \).

в) \( \frac{37}{115} \) и \( \frac{38}{175} \)

• Общий знаменатель для 115 и 175. Разложим числа на простые множители: \( 115 = 5 × 23 \), \( 175 = 5 × 5 × 7 = 5^2 × 7 \).
• Наименьший общий знаменатель: \( 5^2 × 7 × 23 = 25 × 7 × 23 = 175 × 23 = 4025 \).
• Приведём дробь \( \frac{37}{115} \) к знаменателю 4025: \( \frac{37 × (175/5)}{115 × (175/5)} = \frac{37 × 35}{115 × 35} = \frac{1295}{4025} \).
• Приведём дробь \( \frac{38}{175} \) к знаменателю 4025: \( \frac{38 × (4025/175)}{175 × (4025/175)} = \frac{38 × 23}{175 × 23} = \frac{874}{4025} \).
• Сравниваем \( \frac{1295}{4025} \) и \( \frac{874}{4025} \). Так как \( 1295 > 874 \), то \( \frac{1295}{4025} > \frac{874}{4025} \).

г) \( \frac{9}{65} \) и \( \frac{16}{117} \)

• Общий знаменатель для 65 и 117. Разложим числа на простые множители: \( 65 = 5 × 13 \), \( 117 = 9 × 13 = 3^2 × 13 \).
• Наименьший общий знаменатель: \( 5 × 3^2 × 13 = 5 × 9 × 13 = 45 × 13 = 585 \).
• Приведём дробь \( \frac{9}{65} \) к знаменателю 585: \( \frac{9 × (585/65)}{65 × (585/65)} = \frac{9 × 9}{65 × 9} = \frac{81}{585} \).
• Приведём дробь \( \frac{16}{117} \) к знаменателю 585: \( \frac{16 × (585/117)}{117 × (585/117)} = \frac{16 × 5}{117 × 5} = \frac{80}{585} \).
• Сравниваем \( \frac{81}{585} \) и \( \frac{80}{585} \). Так как \( 81 > 80 \), то \( \frac{81}{585} > \frac{80}{585} \).

Ответ: а) \( \frac{4}{9} < \frac{8}{15} \); б) \( \frac{5}{12} > \frac{7}{18} \); в) \( \frac{37}{115} > \frac{38}{175} \); г) \( \frac{9}{65} > \frac{16}{117} \).