Чтобы проектор Р полностью освещал экран А высотой 160 см, его необходимо расположить на расстоянии, не меньшем, чем 360 см от экрана А. На каком наименьшем расстоянии от экрана В высотой 240 см нужно расположить проектор, чтобы он полностью освещал этот экран?

Решение:

Задача решается с помощью подобия треугольников. Проектор (точка Р), экран А и экран В образуют два подобных треугольника, где высота экрана — это катеты, а расстояние от проектора до экрана — это соответствующие стороны.

Пусть \( h_A \) — высота экрана А, \( d_A \) — расстояние от проектора до экрана А. Пусть \( h_B \) — высота экрана В, \( d_B \) — расстояние от проектора до экрана В.

По условию:

• \( h_A = 160 \) см
• \( d_A \ge 360 \) см
• \( h_B = 240 \) см

Из подобия треугольников следует пропорция:

\[ \frac{h_A}{d_A} = \frac{h_B}{d_B} \]

Мы хотим найти наименьшее расстояние \( d_B \), когда \( d_A \) принимает свое наименьшее допустимое значение, то есть \( d_A = 360 \) см.

Подставим известные значения:

\[ \frac{160}{360} = \frac{240}{d_B} \]

Теперь решим уравнение относительно \( d_B \):

\[ d_B = \frac{240 \cdot 360}{160} \]

Упростим:

\[ d_B = \frac{240 \cdot 36}{16} \]

Разделим 240 на 16:

\[ 240 : 16 = 15 \]

Теперь умножим 15 на 36:

\[ d_B = 15 \cdot 36 \]

\( 15 \cdot 36 = 15 \cdot (30 + 6) = 15 \cdot 30 + 15 \cdot 6 = 450 + 90 = 540 \)

Таким образом, наименьшее расстояние от проектора до экрана В составит 540 см.

Ответ: 540 см.