Правильный вариант: will finish.
Объяснение:
В данном случае используется Future Simple (простое будущее время), потому что есть обещание что-то сделать в будущем. Слово "promise" (обещаю) указывает на спонтанное решение или обещание, которое выражается с помощью "will".
* I am too tired now. I promise I will finish it later. (Я слишком устал сейчас. Я обещаю, что закончу это позже.)