Обоснование:
В данном предложении глагол 'decided to go' (решил отправиться) требует после себя предлога, указывающего на направление или цель. Вариант 'after' (за, после, погнаться за) лучше всего подходит по смыслу, так как детектив решил отправиться за подозреваемым.
Ответ: after