Число 59 превращается в палиндром за три операции: 59+95=154, 154+451=605, 605+506=1111. Сколько существует двузначных натуральных чисел, которые после одной операции ещё не становятся палиндромами, но становятся после второй?

Пусть двузначное число имеет вид \(10a+b\), где \(a\) — цифра десятков, а \(b\) — цифра единиц. После первой операции получаем:

\(10a+b+10b+a=11(a+b)\).

Число \(11(a+b)\) является палиндромом при \(a+b\leq 9\). Поэтому нужны случаи \(a+b\geq 10\).

Проверим вторую операцию для возможных значений \(a+b\):

• \(110+11=121\) — палиндром;
• \(121+121=242\) — палиндром;
• \(132+231=363\) — палиндром;
• \(143+341=484\) — палиндром.

Значит, подходят суммы цифр \(a+b=10,11,12,13\).

Количество чисел:

• при \(a+b=10\) — 9 чисел;
• при \(a+b=11\) — 8 чисел;
• при \(a+b=12\) — 7 чисел;
• при \(a+b=13\) — 6 чисел.

Всего: \(9+8+7+6=30\).

Ответ: 30.