Четырёхугольник EMNK вписан в окружность. Используя данные рисунка, найдите величины углов М и №.

Решение:

Вписанный четырёхугольник обладает свойством, что сумма противоположных углов равна 180 градусам.

• Угол ∠E и угол ∠N являются противоположными.
• Угол ∠K и угол ∠M являются противоположными.

Расчет угла M:

На рисунке дан угол, вписанный в окружность, который опирается на дугу KN. Величина этого угла составляет 53°.

Угол ∠M также вписанный и опирается на ту же дугу KN.

Следовательно, угол ∠M равен углу, который опирается на дугу KN. На рисунке дан угол 53° который опирается на дугу MN.

Угол ∠E = 75° опирается на дугу MNK.

Угол ∠K = 53° опирается на дугу EMN.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Угол ∠E=75° опирается на дугу MNK. Величина дуги MNK = 2 * 75° = 150°.

Угол ∠K=53° опирается на дугу EMN. Величина дуги EMN = 2 * 53° = 106°.

Сумма углов в четырёхугольнике = 360°.

Сумма дуг E + MNK = 150°

Сумма дуг K + EMN = 106°

Дуга EKN = 360° - 150° = 210°

Дуга EMK = 360° - 106° = 254°

Угол ∠M опирается на дугу EKN. Величина дуги EKN = 360° - (дуга E + дуга K) = 360 - (150 + 53) ? No

Угол ∠M опирается на дугу EKN. Величина этой дуги равна 360° - дуга MNK.

Дуга MNK = 360° - дуга MK. Дуга MK = 2*Угол E (опирающийся на дугу MK)

Угол ∠E = 75° опирается на дугу MNK. Значит, дуга MNK = 2 * 75° = 150°.

Угол ∠N опирается на дугу EMK. Величина дуги EMK = 360° - дуга MNK = 360° - 150° = 210°.

Угол ∠M = 75° опирается на дугу ENK. Величина дуги ENK = 2*75° = 150°.

Угол ∠K = 53° опирается на дугу EMN. Величина дуги EMN = 2*53° = 106°.

Угол ∠M и угол ∠K являются противоположными углами вписанного четырёхугольника. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

∠M + ∠K = 180°

∠M + 53° = 180°

∠M = 180° - 53° = 127°

Угол ∠N и угол ∠E являются противоположными углами вписанного четырёхугольника.

∠N + ∠E = 180°

∠N + 75° = 180°

∠N = 180° - 75° = 105°

Ответ: ∠M = 127°, ∠N = 105°.