16. Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Прямые АD и ВС пересекаются в точке F, BF = 40, DF = 25, CD = 15. Найдите АВ.

Смотри, тут всё просто:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, прямые AD и BC пересекаются в точке F. Нужно найти AB, если BF = 40, DF = 25, CD = 15.

Логика такая:

Применим теорему о секущихся хордах: Если две секущие, проведенные из одной точки вне окружности, пересекают окружность, то произведение внешней части секущей на всю секущую для одной секущей равно произведению внешней части секущей на всю секущую для другой секущей.

В нашем случае это означает, что:

\(BF \cdot CF = DF \cdot AF\)

Мы знаем, что BF = 40 и DF = 25. Пусть CD = 15 и AB = x. Тогда CF = BC + BF и AF = AD + DF.

Но нам нужно найти AB. Заметим, что треугольники ABF и CDF подобны (по двум углам: угол F общий, угол B равен углу D как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AC).

Из подобия треугольников следует, что:

\(\frac{AB}{CD} = \frac{BF}{DF}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{AB}{15} = \frac{40}{25}\)

\(AB = \frac{40 \cdot 15}{25}\)

\(AB = \frac{600}{25}\)

\(AB = 24\)

Ответ: 24