Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК = 4, DK = 14, ВС = 8. Найдите AD.

Рассмотрим четырехугольник ABCD, вписанный в окружность, и прямые AB и CD, пересекающиеся в точке K.

По свойству секущихся, проведенных из одной точки вне окружности, имеем:

$$KA \cdot KB = KC \cdot KD$$

Пусть AD = x. Тогда KA = KB + AB, KC = KD + DC.

По условию BK = 4, DK = 14, BC = 8.

Пусть AK = AB + 4, CK = 14 + CD.

Рассмотрим подобные треугольники BCK и DAK. Углы при вершине K равны, как вертикальные углы, углы ABC и ADC опираются на одну и ту же дугу, значит равны.

Следовательно, треугольники BCK и DAK подобны по двум углам.

Тогда $$\frac{BK}{DK} = \frac{CK}{AK} = \frac{BC}{AD}$$.

$$\frac{4}{14} = \frac{8}{AD}$$

$$AD = \frac{8 \cdot 14}{4} = 2 \cdot 14 = 28$$

Ответ: 28