3. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин А(5;-3) B(1;2) C(4;4) D(6;1). Найдите синус угла между его диагоналями.

Решение

Пусть диагонали четырехугольника ABCD - это AC и BD. Найдем координаты векторов \[\overrightarrow{AC}\] и \[\overrightarrow{BD}\]:

\[\overrightarrow{AC} = (4 - 5; 4 - (-3)) = (-1; 7)\]

\[\overrightarrow{BD} = (6 - 1; 1 - 2) = (5; -1)\]

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:

\[\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (-1) \cdot 5 + 7 \cdot (-1) = -5 - 7 = -12\]

Найдем длины векторов \[\overrightarrow{AC}\] и \[\overrightarrow{BD}\]:

\[|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]

\[|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\]

Теперь найдем косинус угла между векторами \[\overrightarrow{AC}\] и \[\overrightarrow{BD}\]:

\[\cos(\varphi) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD}|} = \frac{-12}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{26}} = \frac{-12}{5\sqrt{52}} = \frac{-12}{5\sqrt{4 \cdot 13}} = \frac{-12}{10\sqrt{13}} = \frac{-6}{5\sqrt{13}}\]

Угол между диагоналями может быть как острым, так и тупым. Возьмем модуль косинуса, чтобы найти синус острого угла:

\[|\cos(\varphi)| = \frac{6}{5\sqrt{13}}\]

Теперь найдем синус угла между диагоналями, используя основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi) = 1\]

\[\sin(\varphi) = \sqrt{1 - \cos^2(\varphi)} = \sqrt{1 - \left(\frac{6}{5\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{36}{25 \cdot 13}} = \sqrt{1 - \frac{36}{325}} = \sqrt{\frac{325 - 36}{325}} = \sqrt{\frac{289}{325}} = \frac{17}{5\sqrt{13}}\]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \[\sqrt{13}\]:

\[\sin(\varphi) = \frac{17\sqrt{13}}{5 \cdot 13} = \frac{17\sqrt{13}}{65}\]

Ответ: \[\frac{17\sqrt{13}}{65}\]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что синус угла не превышает 1 и имеет положительное значение.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Для более сложных задач можно использовать формулу векторного произведения для нахождения синуса угла напрямую.