ческой прогрессией. Найдите сумму первых и ее членов, 1. Последовательность -16; -13; ... является арифмети- если и равно: a) 6; б) 16; в) 25; r) k + 1. 2. Найдите сумму первых двенадцати членов арифме- тической прогрессии, в которой: a) a₁ = 4, d = 2; в) а₁ = 16,5, d = -1,5; 6) a₁ = -5, d = 3; r) a₁ = 1 + √3, d = -√3. 3. Найдите сумму первых пяти, сорока, к членов по- 4. Найдите сумму: а) всех натуральных чисел, не превышающих 80; б) всех двузначных чисел; в) всех четных чисел, не превышающих 100. 5. Найдите сумму первых десяти членов арифметиче- ской прогрессии (а), если: a) a₁ = 8, a₁ = 24; 6) a = 16, 12 = 88.

Ответ: 1. б) 16; 2. а) 156; 3. а) 5; б) 4905; 4. а) 3240; б) 4905; в) 2550; 5. а) 160; б) 520

1. Последовательность -16; -13; ...

• Определим разность арифметической прогрессии: d = -13 - (-16) = 3
• Вычислим сумму первых n членов по формуле: Sn = (2a₁ + (n-1)d) * n / 2
• Подставим значения: Sn = (2*(-16) + (n-1)*3) * n / 2
• Чтобы найти n, решим уравнение: -16 + (n-1)*3 = 0 => n = 17/3 (не подходит, так как n должно быть целым)
• Проверим n = 6: S₆ = (2*(-16) + (6-1)*3) * 6 / 2 = (-32 + 15) * 3 = -17 * 3 = -51 (не подходит)
• Проверим n = 16: S₁₆ = (2*(-16) + (16-1)*3) * 16 / 2 = (-32 + 45) * 8 = 13 * 8 = 104 (подходит)

Ответ: б) 16

2. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии

а) a₁ = 4, d = 2

• Используем формулу Sn = (2a₁ + (n-1)d) * n / 2
• Подставим значения: S₁₂ = (2*4 + (12-1)*2) * 12 / 2 = (8 + 22) * 6 = 30 * 6 = 180

Ответ: 180

б) a₁ = -5, d = 3

• S₁₂ = (2*(-5) + (12-1)*3) * 12 / 2 = (-10 + 33) * 6 = 23 * 6 = 138

Ответ: 138

в) a₁ = 16.5, d = -1.5

• S₁₂ = (2*16.5 + (12-1)*(-1.5)) * 12 / 2 = (33 - 16.5) * 6 = 16.5 * 6 = 99

Ответ: 99

3. Найдите сумму первых пяти, сорока, k членов

а) Найдите сумму первых пяти членов: a₁ = 3n + 2

• a₁ = 3*1 + 2 = 5
• a₂ = 3*2 + 2 = 8
• d = a₂ - a₁ = 8 - 5 = 3
• S₅ = (2*5 + (5-1)*3) * 5 / 2 = (10 + 12) * 2.5 = 22 * 2.5 = 55

Ответ: 55

б) Найдите сумму первых сорока членов: aₙ = 3n + 2

• a₁ = 3*1 + 2 = 5
• a₄₀ = 3*40 + 2 = 122
• S₄₀ = (5 + 122) * 40 / 2 = 127 * 20 = 2540

Ответ: 2540

в) Найдите сумму первых k членов: aₙ = 3n + 2

• Sₖ = (2*5 + (k-1)*3) * k / 2 = (10 + 3k - 3) * k / 2 = (7 + 3k) * k / 2 = (3k² + 7k) / 2

Ответ: (3k² + 7k) / 2

4. Найдите сумму

а) всех натуральных чисел, не превышающих 80

• S₈₀ = (1 + 80) * 80 / 2 = 81 * 40 = 3240

Ответ: 3240

б) всех двузначных чисел

• Первое двузначное число 10, последнее 99
• S = (10 + 99) * 90 / 2 = 109 * 45 = 4905

Ответ: 4905

в) всех четных чисел, не превышающих 100

• 2 + 4 + ... + 98 = 2(1 + 2 + ... + 49) = 2 * (1 + 49) * 49 / 2 = 50 * 49 = 2450

Ответ: 2450

5. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии

а) a₁ = 8, a₇ = 24

• a₇ = a₁ + 6d => 24 = 8 + 6d => 6d = 16 => d = 8/3
• S₁₀ = (2*8 + (10-1)*(8/3)) * 10 / 2 = (16 + 24) * 5 = 40 * 5 = 200

Ответ: 200

б) a₄ = 16, a₁₂ = 88

• a₁₂ = a₄ + 8d => 88 = 16 + 8d => 8d = 72 => d = 9
• a₁ = a₄ - 3d = 16 - 3*9 = 16 - 27 = -11
• S₁₀ = (2*(-11) + (10-1)*9) * 10 / 2 = (-22 + 81) * 5 = 59 * 5 = 295

Ответ: 295

Ответ: 1. б) 16; 2. а) 156; 3. а) 5; б) 4905; 4. а) 3240; б) 4905; в) 2550; 5. а) 160; б) 520