Через вершину в равнобедренного прямоугольного треугольника ABC (AC = BC) проведена прямая ВМ, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите угол между прямыми СВ в АМ, если ВМ = 6 см. ВС = 3 см.

Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии вместе! Нам дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, где AC = BC. Из вершины B проведена прямая BM, перпендикулярная плоскости треугольника. Нам нужно найти угол между прямыми CB и AM, зная, что BM = 6 см и BC = 3 см.

1. Построение чертежа и анализ задачи:

   Представим себе треугольник ABC и прямую BM, перпендикулярную плоскости ABC. Важно понимать, что угол между CB и AM – это угол между этими прямыми в пространстве. Так как BM перпендикулярна плоскости ABC, то треугольник BMC является прямоугольным.

2. Нахождение длины MC:

   Треугольник BMC – прямоугольный, значит, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти длину MC:

   \[MC = \sqrt{BM^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ см}.\]

3. Нахождение угла между CB и AM:

   Обозначим угол между CB и AM как \(\theta\). Рассмотрим треугольник AMC. Чтобы найти угол между CB и AM, нам нужно рассмотреть, как связаны стороны этого треугольника. Заметим, что треугольник ABC - равнобедренный и прямоугольный, следовательно, угол BCA = 90 градусов. Так как BM перпендикулярна плоскости ABC, то AM будет гипотенузой в треугольнике ABM.

4. Анализ треугольника ABM:

   Треугольник ABM - прямоугольный, так как BM перпендикулярна AB. Значит, \(AM = \sqrt{AB^2 + BM^2}\). Так как треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный, то AB = BC = 3 см. Тогда:

   \[AM = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ см}.\]

5. Вывод о треугольнике AMC:

   Теперь мы знаем, что AM = MC = \(3\sqrt{5}\) см. Это означает, что треугольник AMC равнобедренный. Также AC = BC = 3 см.

6. Применение теоремы косинусов:

   В треугольнике AMC применим теорему косинусов, чтобы найти угол \(\angle AMC\):

   \[AC^2 = AM^2 + MC^2 - 2 \cdot AM \cdot MC \cdot \cos(\angle AMC).\]

   Подставим известные значения:

   \[3^2 = (3\sqrt{5})^2 + (3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{5}) \cdot (3\sqrt{5}) \cdot \cos(\angle AMC).\] \[9 = 45 + 45 - 90 \cdot \cos(\angle AMC).\] \[9 = 90 - 90 \cdot \cos(\angle AMC).\] \[90 \cdot \cos(\angle AMC) = 81.\] \[\cos(\angle AMC) = \frac{81}{90} = \frac{9}{10}.\]

7. Нахождение угла \(\theta\):

   Теперь найдем угол \(\angle AMC\), используя арккосинус:

   \[\angle AMC = \arccos(\frac{9}{10}).\]

8. Определение угла между CB и AM:

   Угол между CB и AM равен углу между AM и MC. Поскольку треугольник AMC равнобедренный, углы при основании AM и MC равны. Нам нужно найти угол между CB и AM, который мы обозначили как \(\theta\). Так как угол \(\angle AMC = \arccos(\frac{9}{10})\), то углы при основании (\(\angle MAC\) и \(\angle MCA\)) можно найти как:

   \[\frac{180^{\circ} - \arccos(\frac{9}{10})}{2}.\]

9. Окончательный расчет:

   Поскольку угол между CB и AM – это угол \(\angle BCA\), то нам нужно найти угол между прямой AM и прямой CB. Так как мы знаем угол \(\angle AMC\), мы можем сказать, что угол между CB и AM равен \(90^{\circ} - \arccos(\frac{9}{10})\).

   Следовательно, угол между прямыми CB и AM равен:

   \[\theta = \arccos(\frac{3}{\sqrt{45}}) = \arccos(\frac{3}{3\sqrt{5}}) = \arccos(\frac{1}{\sqrt{5}}).\]

   Таким образом, \(\theta = \arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})\) или приблизительно \(63.4^{\circ}\).

Ответ: \(\arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})\)

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!