250 Через точку пересечения биссектрис ВВ1 и СС1 треугольника АВС проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны АВ И АС соответственно в точках Ми М. Докажите, что MN = BM + CN. T 251 На рисунке 135 лучи ВО И СО — биссек- трисы углов В и С треугольника АВС, OE || AB, OD || АС. Докажите, что пери- метр ∆EDO равен длине отрезка ВС. назви Рис. 13500T B EOD C

Ответ: Решение ниже

Задача 250

Для доказательства равенства MN = BM + CN воспользуемся свойствами биссектрис и параллельных прямых.

• Пусть O — точка пересечения биссектрис BB₁ и CC₁ треугольника ABC.
• Прямая MN параллельна BC и проходит через точку O.
• M лежит на AB, N лежит на AC.

Докажем, что MN = BM + CN.

Рассмотрим углы при параллельных прямых MN и BC и секущих AB и AC:

• ∠BOM = ∠OBC (накрест лежащие углы при параллельных MN и BC и секущей AB).
• ∠CON = ∠OCB (накрест лежащие углы при параллельных MN и BC и секущей AC).

Так как BO и CO — биссектрисы углов B и C соответственно, то:

• ∠OBC = ½ ∠B
• ∠OCB = ½ ∠C

Следовательно:

• ∠BOM = ½ ∠B
• ∠CON = ½ ∠C

Рассмотрим треугольник BOM. В нём ∠BOM = ∠OBC = ½ ∠B, следовательно, треугольник BOM — равнобедренный, и BM = MO.

Аналогично, рассмотрим треугольник CON. В нём ∠CON = ∠OCB = ½ ∠C, следовательно, треугольник CON — равнобедренный, и CN = NO.

Теперь рассмотрим отрезок MN: MN = MO + ON.

Так как BM = MO и CN = NO, то MN = BM + CN.

Что и требовалось доказать.

Задача 251

На рисунке 135 лучи BO и CO — биссектрисы углов B и C треугольника ABC, OE || AB, OD || AC. Докажем, что периметр ΔEDO равен длине отрезка BC.

Рассмотрим углы при параллельных прямых OE и AB и секущей BO:

• ∠EBO = ∠BOE (накрест лежащие углы при параллельных OE и AB и секущей BO).

Так как BO — биссектриса угла B, то ∠EBO = ∠OBC = ½ ∠B. Следовательно, ∠BOE = ½ ∠B.

Рассмотрим треугольник BEO. В нём ∠EBO = ∠BOE = ½ ∠B, следовательно, треугольник BEO — равнобедренный, и BE = EO.

Аналогично, рассмотрим углы при параллельных прямых OD и AC и секущей CO:

• ∠DCO = ∠DOC (накрест лежащие углы при параллельных OD и AC и секущей CO).

Так как CO — биссектриса угла C, то ∠DCO = ∠OCB = ½ ∠C. Следовательно, ∠DOC = ½ ∠C.

Рассмотрим треугольник CDO. В нём ∠DCO = ∠DOC = ½ ∠C, следовательно, треугольник CDO — равнобедренный, и CD = DO.

Периметр треугольника ΔEDO равен ED + DO + OE.

Так как BE = EO и CD = DO, то периметр ΔEDO равен ED + CD + BE.

Но ED + CD + BE = BC.

Следовательно, периметр ΔEDO равен длине отрезка BC.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Решение выше