671 Через точку М, взятую на медиане AD треугольника АВС, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите отношение \(\frac{AK}{KC}\), если: а) М – середина от- резка AD; б) \(\frac{AM}{MD}=\frac{1}{2}\).

a) Если M – середина отрезка AD, то AM = MD. Поскольку AD – медиана, то BD = DC.

Пусть \(\frac{AK}{KC} = x\). По теореме Менелая для треугольника ADC и прямой BM:

$$\frac{AM}{MD} \cdot \frac{DB}{BC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1$$ $$\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = 1$$ $$\frac{1}{2x} = 1$$ $$2x = 1$$ $$x = \frac{1}{2}$$

Следовательно, \(\frac{AK}{KC} = \frac{1}{2}\).

б) Если \(\frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}\), то по теореме Менелая для треугольника ADC и прямой BM:

$$\frac{AM}{MD} \cdot \frac{DB}{BC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1$$ $$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = 1$$ $$\frac{1}{4x} = 1$$ $$4x = 1$$ $$x = \frac{1}{4}$$

Следовательно, \(\frac{AK}{KC} = \frac{1}{4}\).

Ответ: а) \(\frac{1}{2}\); б) \(\frac{1}{4}\)