3) Через любые две точки на плоскости проходит одна прямая. 4) Если угол равен 30°, то смежный с ним равен 60°. 4. Величины смежных углов пропорциональны числам 4 и 11. Найдите разность между этими углами. 1. Что такое луч? БИЛЕТ №2 2. Теорема о сумме углов треугольника. 3. Какие из следующих утверждений не верны? 1) Через любые три точки проходит ровно одна прямая. 2) Сумма смежных углов равна 90°. 3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы составляют в сумме 180°, то эти две прямые параллельны. 4. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 50°. Найдите величину внешнего угла при основании. БИЛЕТ №3 1. Какая фигура называется углом? Градусная мера угла. 2. Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника 3. Какие из следующих утверждений верны? 1) Любые две прямые имеют не менее одной общей точки. 2) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1. 3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны. 4) Через любую точку проходит более одной прямой. 3. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них равен 42°. БИЛЕТ №4 1. Какой угол называется развёрнутым? 2. Признак параллельности прямых (доказательство для случая равенства накрест лежащих углов) 3. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если при пересечении двух прямых третьей, сумма накрест лежащих углов равна 180°, то две прямые параллельны. 2) Через любые три точки проходит ровно одна прямая. 3) Любые три прямые имеют не менее одной общей точки. 4) В тупоугольном равнобедренном треугольнике, основание больше боковой стороны. 4. Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз больше другого БИЛЕТ №5 1. Какая точка называется серединой отрезка? 2. Признак параллельности прямых (доказательство для случая равенства соответствующих углов) 3. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой. 3) Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный. 4) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны. 4. Отрезки АВ и CD-диаметры окружности. Докажите, что хорды АС и BD равны. БИЛЕТ №6

БИЛЕТ №1

1. Через любые две точки на плоскости проходит одна прямая. Это утверждение верно, так как это один из основных постулатов геометрии.

2. Если угол равен 30°, то смежный с ним равен 150°, так как сумма смежных углов равна 180°.

3. Величины смежных углов пропорциональны числам 4 и 11. Найдите разность между этими углами.

   Пусть один угол 4x, другой 11x. Тогда 4x + 11x = 180°.

   Решаем уравнение: 15x = 180°, x = 12°.

   Углы равны 4 ⋅ 12 = 48° и 11 ⋅ 12 = 132°.

   Разность между углами: 132° - 48° = 84°.

БИЛЕТ №2

1. Луч - это часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной точки.

2. Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180°.

3. Какие из следующих утверждений не верны?

   1. Через любые три точки проходит ровно одна прямая.
   2. Сумма смежных углов равна 90°.

   Оба утверждения не верны. Через три точки, не лежащие на одной прямой, нельзя провести прямую. Сумма смежных углов равна 180°.

4. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 50°. Найдите величину внешнего угла при основании.

   В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника 180°. Тогда углы при основании равны \[\frac{180 - 50}{2} = 65°\]

   Внешний угол при основании равен 180° - 65° = 115°.

БИЛЕТ №3

1. Углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Градусная мера угла - это число, показывающее, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

2. Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника: биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. Какие из следующих утверждений верны?

   1. Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.
   2. Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.
   3. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.
   4. Через любую точку проходит более одной прямой.

   Верны утверждения 1, 2 и 4. Утверждение 3 неверно, так как для параллельности прямых сумма внутренних накрест лежащих углов должна быть 180°.

БИЛЕТ №4

1. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них равен 42°.

   Если один из углов равен 42°, то вертикальный с ним угол также равен 42°. Смежные с ними углы равны 180° - 42° = 138°.

   Углы, соответственные углу 42°, также равны 42°. В итоге, углы равны 42° и 138°.

2. Какой угол называется развёрнутым? Развёрнутый угол — это угол, стороны которого образуют прямую линию, он равен 180°.

3. Признак параллельности прямых (доказательство для случая равенства накрест лежащих углов).

   Если при пересечении двух прямых третьей прямые внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Доказательство этого факта основано на аксиомах параллельности и свойствах углов, образованных при пересечении прямых.

4. Какие из следующих утверждений верны?

   1. Если при пересечении двух прямых третьей, сумма накрест лежащих углов равна 180°, то две прямые параллельны.
   2. Через любые три точки проходит ровно одна прямая.
   3. Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.
   4. В тупоугольном равнобедренном треугольнике, основание больше боковой стороны.

   Верно утверждение 1. Утверждения 2 и 3 не всегда верны. Утверждение 4 неверно, основание может быть меньше боковой стороны.

5. Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз больше другого.

   Пусть один угол x, тогда другой 5x. Сумма смежных углов равна 180°.

   Решаем уравнение: x + 5x = 180°, 6x = 180°, x = 30°.

   Углы равны 30° и 150°.

БИЛЕТ №5

1. Какая точка называется серединой отрезка? Серединой отрезка называется точка, делящая отрезок пополам.

2. Признак параллельности прямых (доказательство для случая равенства соответственных углов).

   Если при пересечении двух прямых третьей прямые соответственные углы равны, то прямые параллельны. Доказательство этого факта основано на аксиомах параллельности и свойствах углов, образованных при пересечении прямых.

3. Какие из следующих утверждений верны?

   1. Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
   2. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
   3. Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный.
   4. Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.

   Верно утверждение 1 и 4. Утверждение 2 не всегда верно, только биссектриса, проведенная к основанию. Утверждение 3 неверно, треугольник может быть тупоугольным.

4. Отрезки АВ и CD - диаметры окружности. Докажите, что хорды АС и BD равны.

   Так как АВ и CD - диаметры, то углы \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) равны, поскольку они вертикальные. Значит, \(\triangle AOC = \triangle BOD\) по двум сторонам и углу между ними (AO = OB, CO = OD как радиусы, \(\angle AOC = \angle BOD\)).

   Из равенства треугольников следует равенство сторон АС и BD, то есть хорды АС и BD равны.