Черепашка перемещается по команде вдоль координатной прямой. Существует два вида команд: 1) переместись вправо на единичный отрезок; 2) переместись влево на единичный отрезок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых черепашка может оказаться после выполнения 6 команд, начиная в начале координат?

Решение:

Черепашка начинает движение в начале координат (точка 0). Ей нужно выполнить 6 команд. Каждая команда — это шаг вправо (+1) или влево (-1).

Пусть \(x\) — количество шагов вправо, а \(y\) — количество шагов влево. Тогда общее количество команд равно \(x + y = 6\).

Положение черепашки после 6 команд будет равно \(x \cdot (+1) + y \cdot (-1) = x - y\).

Из уравнения \(x + y = 6\) выразим \(y = 6 - x\).

Подставим \(y\) в выражение для положения:

\(x - (6 - x) = x - 6 + x = 2x - 6\).

\(x\) может принимать значения от 0 до 6 (количество шагов вправо). Посчитаем возможные положения черепашки:

• Если \(x = 0\) (все шаги влево), положение = \(2 · 0 - 6 = -6\).
• Если \(x = 1\) (1 шаг вправо, 5 влево), положение = \(2 · 1 - 6 = -4\).
• Если \(x = 2\) (2 шага вправо, 4 влево), положение = \(2 · 2 - 6 = -2\).
• Если \(x = 3\) (3 шага вправо, 3 влево), положение = \(2 · 3 - 6 = 0\).
• Если \(x = 4\) (4 шага вправо, 2 влево), положение = \(2 · 4 - 6 = 2\).
• Если \(x = 5\) (5 шагов вправо, 1 влево), положение = \(2 · 5 - 6 = 4\).
• Если \(x = 6\) (все шаги вправо), положение = \(2 · 6 - 6 = 6\).

Возможные конечные точки: -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6. Всего 7 различных точек.

Ответ: 7