Чему равно самое большое трёхзначное простое число, все цифры которого разные?

Решение:

Простое число — это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.

Нам нужно найти самое большое трёхзначное число с различными цифрами, которое является простым.

Начнем с самого большого трёхзначного числа с различными цифрами и будем проверять его на простоту, двигаясь вниз.

• Самое большое трёхзначное число — 999. Цифры не разные.
• Следующее — 998. Цифры не разные.
• 997 — простое число? Проверим делимость на малые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. \( \sqrt{997} \approx 31.5 \).
• 997 не делится на 2 (нечётное).
• Сумма цифр 9+9+7 = 25, не делится на 3.
• Не заканчивается на 0 или 5, значит, не делится на 5.
• \( 997 \div 7 = 142 \) остаток 3.
• \( 997 \div 11 = 90 \) остаток 7.
• \( 997 \div 13 = 76 \) остаток 9.
• \( 997 \div 17 = 58 \) остаток 11.
• \( 997 \div 19 = 52 \) остаток 9.
• \( 997 \div 23 = 43 \) остаток 8.
• \( 997 \div 29 = 34 \) остаток 11.
• \( 997 \div 31 = 32 \) остаток 5.

Число 997 является простым.

Все цифры у числа 997 разные (9, 9, 7). Ой, цифра 9 повторяется. Значит, 997 не подходит.

Проверим следующее число с разными цифрами:

• 987 — делится на 3 (9+8+7=24).
• 986 — делится на 2.
• 985 — делится на 5.
• 984 — делится на 2.
• 983 — простое ли? \( \sqrt{983} \approx 31.3 \).
• 983 не делится на 2, 3 (9+8+3=20), 5.
• \( 983 \div 7 = 140 \) остаток 3.
• \( 983 \div 11 = 89 \) остаток 4.
• \( 983 \div 13 = 75 \) остаток 8.
• \( 983 \div 17 = 57 \) остаток 14.
• \( 983 \div 19 = 51 \) остаток 14.
• \( 983 \div 23 = 42 \) остаток 17.
• \( 983 \div 29 = 33 \) остаток 26.
• \( 983 \div 31 = 31 \) остаток 22.

Число 983 — простое. Его цифры (9, 8, 3) разные.

Ответ: 983.