Частные производные функции z = ln(x+y³) равны

Решение:

Для нахождения частных производных функции \( z = \ln(x+y^3) \) будем дифференцировать поочередно по \( x \) и \( y \), считая другую переменную постоянной.

Частная производная по \( x \):

\( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \ln(x+y^3) \right) \)

Используем правило дифференцирования сложной функции: \( (\ln u)' = \frac{1}{u} u' \), где \( u = x+y^3 \).

\( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x+y^3) = 1 + 0 = 1 \)

Следовательно:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x+y^3} \cdot 1 = \frac{1}{x+y^3} \]

Частная производная по \( y \):

\( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \ln(x+y^3) \right) \)

Здесь \( u = x+y^3 \).

\( \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x+y^3) = 0 + 3y^2 = 3y^2 \)

Следовательно:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x+y^3} \cdot 3y^2 = \frac{3y^2}{x+y^3} \]

Ответ: \( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x+y^3} \), \( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{3y^2}{x+y^3} \).