Частное решение дифференциального уравнения y'' + 4y = cos 2t при условии y(0) = y'(0) = 0 имеет вид. Выберите один ответ: 1/2 sin 2t; 1/4 t sin 2t; 1/2 t cos 2t.

Однородное уравнение имеет характеристическое уравнение \(r^2+4=0\), поэтому частота \(2\) совпадает с частотой правой части \(\cos 2t\). Возникает резонанс, поэтому частное решение ищем в виде \(y_p=At\sin 2t\).

Подстановка даёт \(y_p''+4y_p=4A\cos 2t\). Приравнивая коэффициенты, получаем \(4A=1\), откуда \(A=\frac14\).

Следовательно, искомое частное решение имеет вид \(y_p=\frac14t\sin 2t\).

Ответ: \(\frac14 t\sin 2t\).