Частное решение дифференциального уравнения \(x''-x=\sin t\) при условиях \(x(0)=0\), \(x'(0)=0\). Выберите один ответ.

Решим уравнение \(x''-x=\sin t\).

Общее решение однородного уравнения \(x''-x=0\): \(x_h=C_1e^t+C_2e^{-t}\).

Ищем частное решение в виде \(x_p=a\sin t+b\cos t\). Тогда \(x_p''-x_p=-2a\sin t-2b\cos t\). Сравнивая с \(\sin t\), получаем \(a=-\frac12\), \(b=0\). Поэтому \(x_p=-\frac12\sin t\).

Полное решение: \(x=C_1e^t+C_2e^{-t}-\frac12\sin t\).

Из условия \(x(0)=0\): \(C_1+C_2=0\).

Производная: \(x'=C_1e^t-C_2e^{-t}-\frac12\cos t\). Из условия \(x'(0)=0\): \(C_1-C_2=\frac12\).

Следовательно, \(C_1=\frac14\), \(C_2=-\frac14\).

Искомое решение: \(x=\frac14e^t-\frac14e^{-t}-\frac12\sin t\).

Ответ: \(\frac14e^t-\frac14e^{-t}-\frac12\sin t\).