Частное решение дифференциального уравнения $x''+9x=1$ при условии $x(0)=0,\ x'(0)=0$. Выберите один ответ: $-\frac{1}{9}\cos 3t+\frac{1}{9}$; $-\sin 3t+\frac{1}{3}$; $-\frac{1}{9}\sin 3t-\frac{1}{9}$.

Question

$Фото задания: Частное решение дифференциального уравнения $x''+9x=1$ при условии $x(0)=0,\ x'(0)=0$. Выберите один ответ:…$ Фото задания

Accepted Answer

Общее решение однородного уравнения $x''+9x=0$:

$x_h=C_1\cos 3t+C_2\sin 3t$.

Частное постоянное решение ищем в виде $x_p=A$. Тогда $9A=1$, откуда $A=\frac{1}{9}$.

Следовательно, $x=C_1\cos 3t+C_2\sin 3t+\frac{1}{9}$.

Из условия $x(0)=0$: $C_1+\frac{1}{9}=0$, поэтому $C_1=-\frac{1}{9}$.

Производная: $x'=-3C_1\sin 3t+3C_2\cos 3t$. Из условия $x'(0)=0$ получаем $3C_2=0$, то есть $C_2=0$.

Итак, $x(t)=-\frac{1}{9}\cos 3t+\frac{1}{9}$.

Ответ: $-\frac{1}{9}\cos 3t+\frac{1}{9}$.

Частное решение дифференциального уравнения \(x''+9x=1\) при условии \(x(0)=0,\ x'(0)=0\). Выберите один ответ: \(-\frac{1}{9}\cos 3t+\frac{1}{9}\); \(-\sin 3t+\frac{1}{3}\); \(-\frac{1}{9}\sin 3t-\frac{1}{9}\).