Часть 2 (2 балла) Решите тригонометрическое уравнение: a) (2sin x - 1)(cos x + 1) = 0; б) 2sin^2 x + cos x = 1; в) sin x + 3cos x = 0.

Решение:

а) \( (2\sin x - 1)(\cos x + 1) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. \( 2\sin x - 1 = 0 \)
\( 2\sin x = 1 \)
\( \sin x = \frac{1}{2} \)
\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

2. \( \cos x + 1 = 0 \)
\( \cos x = -1 \)
\( x = \pi + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \pi + 2\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).

б) \( 2\sin^2 x + \cos x = 1 \)

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).

\( 2(1 - \cos^2 x) + \cos x = 1 \)
\( 2 - 2\cos^2 x + \cos x = 1 \)
\( -2\cos^2 x + \cos x + 1 = 0 \)
\( 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \)

Пусть \( y = \cos x \). Тогда \( 2y^2 - y - 1 = 0 \).

Найдём дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \).

\( y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1 \)
\( y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \)

1. \( \cos x = 1 \)
\( x = 2\pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \).

2. \( \cos x = -\frac{1}{2} \)
\( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi l \), где \( l \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = 2\pi m \), \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi l \), где \( m, l \in \mathbb{Z} \).

в) \( \sin x + 3\cos x = 0 \)

Разделим обе части уравнения на \( \cos x \) (предполагая, что \( \cos x \neq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и \( \pm 1 + 3 \cdot 0 \neq 0 \), значит \( \cos x \neq 0 \)).

\( \frac{\sin x}{\cos x} + 3\frac{\cos x}{\cos x} = 0 \)
\( \operatorname{tg} x + 3 = 0 \)
\( \operatorname{tg} x = -3 \)
\( x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi p \), где \( p \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi p \), где \( p \in \mathbb{Z} \).