C-36 Геометрическая прогрессия Вариант 1. Найдите в и д для геометрической прогрес- 3 сии (6), у которой в₂ = 3, вз ba= 2. Найдите шестой член геометрической прогрес- 80 сии (6), если b₁ = 3, q= 1 3 3. Является ли число А = 1 членом геометрической 16 прогрессии 2; 1; ... ? Если да, то укажите его но- мер.

Задание 1:

Давай найдем \(b_1\) и \(q\) для геометрической прогрессии \((b_n)\), у которой \(b_2 = 3\) и \(b_3 = \frac{9}{4}\).

Мы знаем, что \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Тогда:

\(b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q = 3\)

\(b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = \frac{9}{4}\)

Разделим второе уравнение на первое:

\(\frac{b_1 \cdot q^2}{b_1 \cdot q} = \frac{\frac{9}{4}}{3}\)

\(q = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{4}\)

Теперь найдем \(b_1\), используя первое уравнение:

\(b_1 \cdot q = 3\)

\(b_1 \cdot \frac{3}{4} = 3\)

\(b_1 = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4\)

Ответ: \(b_1 = 4, q = \frac{3}{4}\)

Задание 2:

Найдем шестой член геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_1 = 3\) и \(q = \frac{1}{3}\).

Мы знаем, что \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Тогда:

\(b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5\)

\(b_6 = 3 \cdot (\frac{1}{3})^5 = 3 \cdot \frac{1}{243} = \frac{1}{81}\)

Ответ: \(b_6 = \frac{1}{81}\)

Задание 3:

Является ли число \(A = \frac{1}{16}\) членом геометрической прогрессии \(2; 1; ...\)? Если да, то укажите его номер.

Сначала найдем знаменатель прогрессии:

\(q = \frac{1}{2}\)

Тогда общий член прогрессии можно записать как:

\(b_n = 2 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = 2 \cdot 2^{1-n} = 2^{2-n}\)

Теперь проверим, является ли \(\frac{1}{16}\) членом этой прогрессии:

\(\frac{1}{16} = 2^{2-n}\)

\(2^{-4} = 2^{2-n}\)

\(-4 = 2 - n\)

\(n = 6\)

Так как \(n = 6\) является целым числом, то \(\frac{1}{16}\) является членом этой прогрессии.

Ответ: Да, \(\frac{1}{16}\) является 6-м членом прогрессии.