CBME <CMFий смежные = 1800 <BME=180°=-731°=496 15) Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одной и той же точки замкнутой трассы. Они должны пробежать несколько кругов. Спустя 20 минут, когда одному из них оставалось пробежать треть километра до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал пер- вый круг 5 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго. Запишите решение и ответ. Решение.

Решение:

Пусть x (км/ч) – скорость первого бегуна, а y (км/ч) – скорость второго бегуна.

Тогда:

• y = x + 5
• Расстояние, которое осталось пробежать первому бегуну: 1/3 км.
• Время, через которое второму бегуну сообщили, что он пробежал первый круг: 20 минут = 1/3 часа.
• Первый бегун пробежал первый круг на 5 минут = 1/12 часа позже.

Составим систему уравнений, исходя из того, что за 1/3 часа второй бегун пробежал на 1/3 км больше, чем первый:

\[\begin{cases} y = x + 5 \\ \frac{1}{3}y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \end{cases}\]

Подставим первое уравнение во второе:

\[\frac{1}{3}(x+5) = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\]

Решим уравнение:

\[\frac{1}{3}x + \frac{5}{3} = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\]

\[\frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\]

Это значит, что за 1/3 часа второй бегун пробежал на 4/3 км больше, чем первый. Получается, что разница во времени 1/12 часа.

Тогда можно записать:

\[\frac{1}{12}y = \frac{1}{12}x + \frac{1}{3}\]

Подставим y = x + 5:

\[\frac{1}{12}(x+5) = \frac{1}{12}x + \frac{1}{3}\]

\[\frac{x}{12} + \frac{5}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{3}\]

\[\frac{5}{12} - \frac{1}{3} = \frac{5}{12} - \frac{4}{12} = \frac{1}{12}\]

Это означает, что за 1/12 часа второй бегун пробегает на 1/12 км больше, чем первый.

Так как первый бегун пробегает круг за 5 минут = 1/12 часа позже второго, то:

\[\frac{1}{12}y = \frac{1}{12}x + \frac{1}{3}\]

Подставим y = x + 5:

\[\frac{1}{12}(x+5) = \frac{1}{12}x + \frac{1}{3}\]

\[\frac{x}{12} + \frac{5}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{3}\]

\[\frac{5}{12} - \frac{1}{3} = \frac{5}{12} - \frac{4}{12} = \frac{1}{12}\]

Получается, что 1/3 км первый бегун пробегает за:

\[t = \frac{s}{v} = \frac{\frac{1}{3}}{x} = \frac{1}{3x}\]

А второй бегун за:

\[t = \frac{s}{v} = \frac{\frac{1}{3}}{x+5} = \frac{1}{3(x+5)}\]

Разница во времени:

\[\frac{1}{3x} - \frac{1}{3(x+5)} = \frac{1}{12}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{x+5 - x}{3x(x+5)} = \frac{1}{12}\]

\[\frac{5}{3x(x+5)} = \frac{1}{12}\]

\[3x(x+5) = 60\]

\[x(x+5) = 20\]

\[x^2 + 5x - 20 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 25 + 80 = 105\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{105}}{2} \approx 2.62\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{105}}{2} < 0 \]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому:

\[x \approx 2.62 \text{ км/ч}\]