Calculate the limit: lim (2x^2 + 5x - 7) / (3x^2 + x - 4) as x approaches x_0 = 1.

Решение:

Для вычисления предела функции \( f(x) = \frac{2x^2 + 5x - 7}{3x^2 + x - 4} \) при \( x \to 1 \) подставим \( x = 1 \) в числитель и знаменатель.

Числитель: \( 2(1)^2 + 5(1) - 7 = 2 + 5 - 7 = 0 \).

Знаменатель: \( 3(1)^2 + 1 - 4 = 3 + 1 - 4 = 0 \).

Так как мы получили неопределённость вида \( \frac{0}{0} \), мы можем использовать правило Лопиталя или разложить числитель и знаменатель на множители.

Способ 1: Разложение на множители

Найдем корни числителя \( 2x^2 + 5x - 7 = 0 \):

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-7) = 25 + 56 = 81 \).

Корни: \( x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 9}{4} = \frac{4}{4} = 1 \) и \( x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 9}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} \).

Таким образом, числитель можно записать как \( 2(x-1)(x + \frac{7}{2}) = (x-1)(2x+7) \).

Найдем корни знаменателя \( 3x^2 + x - 4 = 0 \):

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(3)(-4) = 1 + 48 = 49 \).

Корни: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1 \) и \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \).

Таким образом, знаменатель можно записать как \( 3(x-1)(x + \frac{4}{3}) = (x-1)(3x+4) \).

Теперь перепишем предел:

\[ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(2x+7)}{(x-1)(3x+4)} \]

Сокращаем \( (x-1) \):

\[ \lim_{x \to 1} \frac{2x+7}{3x+4} \]

Подставляем \( x = 1 \):

\[ \frac{2(1)+7}{3(1)+4} = \frac{2+7}{3+4} = \frac{9}{7} \]

Способ 2: Правило Лопиталя

Так как мы получили неопределённость \( \frac{0}{0} \), применяем правило Лопиталя, взяв производную от числителя и знаменателя:

\[ \lim_{x \to 1} \frac{(2x^2 + 5x - 7)'}{(3x^2 + x - 4)'} = \lim_{x \to 1} \frac{4x + 5}{6x + 1} \]

Теперь подставляем \( x = 1 \):

\[ \frac{4(1) + 5}{6(1) + 1} = \frac{4+5}{6+1} = \frac{9}{7} \]

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: \( \frac{9}{7} \).