Calculate the following expression: $$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} - 2 \frac{1}{3} \div \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{18} \right)$$

Решение:

1. Приведем все дроби к общему знаменателю, где это необходимо.
2. Сначала вычислим значение в скобках: \( \frac{5}{6} + \frac{1}{18} \). Общий знаменатель — 18. \( \frac{5}{6} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18} \).
3. \( \frac{15}{18} + \frac{1}{18} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9} \).
4. Теперь выполним деление: \( 2 \frac{1}{3} \div \frac{8}{9} \). Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: \( 2 \frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \).
5. Деление заменяем умножением на обратную дробь: \( \frac{7}{3} \div \frac{8}{9} = \frac{7}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{7 \times 9}{3 \times 8} = \frac{7 \times 3}{8} = \frac{21}{8} \).
6. Теперь выполним сложение и вычитание: \( \frac{2}{3} + \frac{1}{6} - \frac{21}{8} \).
7. Приведем к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3, 6 и 8 равен 24.
8. \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24} \).
9. \( \frac{1}{6} = \frac{1 \times 4}{6 \times 4} = \frac{4}{24} \).
10. \( \frac{21}{8} = \frac{21 \times 3}{8 \times 3} = \frac{63}{24} \).
11. \( \frac{16}{24} + \frac{4}{24} - \frac{63}{24} = \frac{16 + 4 - 63}{24} = \frac{20 - 63}{24} = \frac{-43}{24} \).
12. Преобразуем в смешанное число: \( \frac{-43}{24} = -1 \frac{19}{24} \).

Ответ: \( -1 \frac{19}{24} \).