Calculate the expression: $$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$$

Решение:

Чтобы выполнить сложение дробей с иррациональными знаменателями, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей:

\( (\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3}) \)

Это разность квадратов, поэтому:

\( (\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4 \)

Теперь приведём дроби к общему знаменателю:

\( \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{7})^2 - \sqrt{7}\sqrt{3}}{4} = \frac{7 - \sqrt{21}}{4} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{7} + (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{\sqrt{21} + 3}{4} \)

Сложим полученные дроби:

\( \frac{7 - \sqrt{21}}{4} + \frac{\sqrt{21} + 3}{4} = \frac{7 - \sqrt{21} + \sqrt{21} + 3}{4} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} \)

Сократим дробь:

\( \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \)

Или в десятичной форме:

\( \frac{5}{2} = 2.5 \)

Ответ: \( \frac{5}{2} \) или \( 2.5 \).