Calculate the expression \(\frac{a^8 \sqrt[3]{a^2}}{a^5}\) when \(a = 0.125\).

Привет! Давай разберемся с этим выражением. Ты справишься, я верю!

Дано:

• Выражение: \( \frac{a^8 \sqrt[3]{a^2}}{a^5} \)
• Значение \(a\): \( a = 0,125 \)

Решение:

1. Упростим выражение:

   Сначала вспомним свойства степеней. Когда мы делим степени с одинаковым основанием, мы вычитаем показатели: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \). А также, корень можно представить как дробную степень: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).

   Применим эти правила к нашему выражению:

   \( \frac{a^8 \cdot a^{\frac{2}{3}}}{a^5} = \frac{a^{8 + \frac{2}{3}}}{a^5} \)

   Сложим показатели в числителе: \( 8 + \frac{2}{3} = \frac{24}{3} + \frac{2}{3} = \frac{26}{3} \).

   Теперь выражение выглядит так: \( \frac{a^{\frac{26}{3}}}{a^5} \).

   Снова используем правило деления степеней: \( a^{\frac{26}{3} - 5} = a^{\frac{26}{3} - \frac{15}{3}} = a^{\frac{11}{3}} \).

2. Подставим значение \(a\):

   Теперь, когда мы упростили выражение до \( a^{\frac{11}{3}} \), подставим \( a = 0,125 \).

   Заметим, что \( 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} \). А \( \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} \).

   Подставляем это значение:

   \( (2^{-3})^{\frac{11}{3}} \)

   При возведении степени в степень, показатели перемножаются: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

   \( 2^{(-3) \cdot \frac{11}{3}} = 2^{-11} \).

   А \( 2^{-11} = \frac{1}{2^{11}} \).

   Вычислим \( 2^{11} \):

   \( 2^{10} = 1024 \), значит \( 2^{11} = 1024 \cdot 2 = 2048 \).

   Таким образом, \( 2^{-11} = \frac{1}{2048} \).

Ответ: \( \frac{1}{2048} \)