Calculate the definite integral: \(\int_{0}^{1} (5x^2 + x - 6) dx\)

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \(\int_{0}^{1} (5x^2 + x - 6) dx\), сначала найдём первообразную функции \( f(x) = 5x^2 + x - 6 \).

Первообразная \( F(x) \) находится по правилу интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

1. Интегрируем каждый член по отдельности:
• \( \int 5x^2 dx = 5 \int x^2 dx = 5 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 5 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{5}{3}x^3 \)
• \( \int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} \)
• \( \int -6 dx = -6x \)

Таким образом, первообразная равна \( F(x) = \frac{5}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x \).

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( a=0 \) и \( b=1 \).

2. Подставим верхний предел интегрирования (\( x=1 \)):
• \( F(1) = \frac{5}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 - 6(1) = \frac{5}{3} + \frac{1}{2} - 6 \)
3. Приведём к общему знаменателю (6):
• \( F(1) = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{6 \cdot 6}{1 \cdot 6} = \frac{10}{6} + \frac{3}{6} - \frac{36}{6} = \frac{10 + 3 - 36}{6} = \frac{13 - 36}{6} = -\frac{23}{6} \)
4. Подставим нижний предел интегрирования (\( x=0 \)):
• \( F(0) = \frac{5}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0)^2 - 6(0) = 0 + 0 - 0 = 0 \)
5. Вычислим разность \( F(1) - F(0) \):
• \( \int_{0}^{1} (5x^2 + x - 6) dx = F(1) - F(0) = -\frac{23}{6} - 0 = -\frac{23}{6} \)

Ответ: -\(\frac{23}{6}\).