C2. Один из четырех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 11 раз меньше суммы трех остальных углов. Найдите эти четыре угла.

Решение:

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Вертикальные углы равны, а смежные углы в сумме дают 180°.

Пусть углы равны \( \alpha, \beta, \alpha, \beta \), где \( \alpha \) и \( \beta \) — смежные углы, то есть \( \alpha + \beta = 180° \).

По условию, один из углов в 11 раз меньше суммы трех остальных. Пусть это будет угол \( \alpha \).

Тогда: \( \alpha = \frac{1}{11} (\beta + \alpha + \beta) \)

\[ 11 \alpha = 2 \beta + \alpha \]

\[ 10 \alpha = 2 \beta \]

\[ \beta = 5 \alpha \]

Теперь подставим это соотношение в уравнение смежных углов:

\[ \alpha + \beta = 180° \]

\[ \alpha + 5 \alpha = 180° \]

\[ 6 \alpha = 180° \]

\[ \alpha = \frac{180°}{6} \]

\[ \alpha = 30° \]

Найдем \( \beta \):

\[ \beta = 5 \alpha = 5 \cdot 30° = 150° \]

Таким образом, четыре угла равны: 30°, 150°, 30°, 150°.

Проверка:

Сумма трех остальных углов для угла 30°: \( 150° + 30° + 150° = 330° \). \( 30° = \frac{1}{11} \cdot 330° \). Условие выполняется.

Ответ: Углы равны 30°, 150°, 30°, 150°.