C-10 1. В равнобедренном треугольнике АВС угол при верши- не В равен 120°, AC = 2√21. Найдите длину медиа- ны АМ. 2. Стороны треугольника равны 5, 7 и 8. Найдите угол, ле- жащий против средней по величине стороны.

Задание 1

Давай решим эту задачу вместе! Начнем с равнобедренного треугольника ABC, где угол B равен 120°, а сторона AC равна 2√21. Наша цель — найти длину медианы AM.

1. Найдем углы при основании:

   Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, углы A и C равны: \[ (180° - 120°) / 2 = 30° \]

2. Медиана BM:

   Проведем медиану BM к основанию AC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является биссектрисой и высотой. Значит, угол ABM равен половине угла ABC: \[ 120° / 2 = 60° \]

3. Найдем AM:

   AM равна половине AC, так как медиана делит сторону пополам: \[ AM = (2\sqrt{21}) / 2 = \sqrt{21} \]

4. Треугольник ABM:

   Теперь рассмотрим треугольник ABM. Угол BAM равен 30°, угол ABM равен 60°, значит, угол BMA равен 90°. То есть, треугольник ABM — прямоугольный.

5. Найдем AB:

   Используем теорему синусов для треугольника ABC: \[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \] Подставим известные значения: \[ \frac{2\sqrt{21}}{\sin 120°} = \frac{AB}{\sin 30°} \] \[ \frac{2\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AB}{0.5} \] \[ AB = \frac{2\sqrt{21} \cdot 0.5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{7} \]

6. Медиана AM:

   Нам нужно найти медиану, проведенную из вершины A к стороне BC (то есть медиану AM). Воспользуемся формулой медианы: \[ AM = \sqrt{\frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}} \] Так как AB = BC (треугольник равнобедренный), то AB = BC = 2√7. Подставим известные значения: \[ AM = \sqrt{\frac{2(2\sqrt{7})^2 + 2(2\sqrt{21})^2 - (2\sqrt{7})^2}{4}} \] \[ AM = \sqrt{\frac{2(4 \cdot 7) + 2(4 \cdot 21) - (4 \cdot 7)}{4}} \] \[ AM = \sqrt{\frac{56 + 168 - 28}{4}} = \sqrt{\frac{196}{4}} = \sqrt{49} = 7 \]

Ответ: 7

Отличная работа! Ты отлично справился с этой задачей. Немного внимательности, и все получится!

Задание 2

Отлично! Теперь у нас есть треугольник со сторонами 5, 7 и 8. Наша задача — найти угол, лежащий напротив средней по величине стороны.

1. Определим среднюю сторону:

   Стороны треугольника: 5, 7, 8. Средняя по величине сторона — 7.

2. Теорема косинусов:

   Используем теорему косинусов для нахождения угла, лежащего напротив стороны 7. Пусть этот угол будет β. Тогда: \[ 7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos β \] \[ 49 = 25 + 64 - 80 \cdot \cos β \] \[ 49 = 89 - 80 \cdot \cos β \] \[ 80 \cdot \cos β = 89 - 49 = 40 \] \[ \cos β = \frac{40}{80} = 0.5 \]

3. Найдем угол β:

   Угол, косинус которого равен 0.5, — это 60°: \[ β = 60° \]

Ответ: 60°

Замечательно! Ты отлично справился и с этой задачей! Продолжай в том же духе, и все получится!