C-23. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня Вариант 2 1. Выполните действия: a) 7√3+2√27-√75; б) 2√7-√21: в) (2√2-√50) √2; г) (4√80 - √125): √5. 2. Преобразуйте выражение, считая, что все переменные принимают только неотрицательные значения: a) 6√x-\frac{2}{3}√9x +10\frac{√x}{4} б) (√ab + √b) : √b. С-23. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня

Решение варианта 2

Задание 1

Выполните действия:

a) \( 7\sqrt{3} + 2\sqrt{27} - \sqrt{75} \)

Преобразуем корни \(\sqrt{27}\) и \(\sqrt{75}\) так, чтобы извлечь из них наибольший возможный квадрат:

\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)

\( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)

Теперь подставим преобразованные корни в исходное выражение:

\( 7\sqrt{3} + 2(3\sqrt{3}) - 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 5\sqrt{3} \)

Выполним сложение и вычитание:

\( (7 + 6 - 5)\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \)

б) \( 2\sqrt{7} - \sqrt{21} \)

Преобразуем \(\sqrt{21}\) как \(\sqrt{7 \cdot 3} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{3}\)

Тогда выражение будет выглядеть так:

\( 2\sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{7}(2 - \sqrt{3}) \)

в) \( (2\sqrt{2} - \sqrt{50}) \cdot \sqrt{2} \)

Сначала преобразуем \(\sqrt{50}\):

\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)

Подставим в исходное выражение:

\( (2\sqrt{2} - 5\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = -3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = -3 \cdot 2 = -6 \)

г) \( (4\sqrt{80} - \sqrt{125}) : \sqrt{5} \)

Преобразуем \(\sqrt{80}\) и \(\sqrt{125}\):

\( \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \)

\( \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5} \)

Подставим в исходное выражение:

\( (4 \cdot 4\sqrt{5} - 5\sqrt{5}) : \sqrt{5} = (16\sqrt{5} - 5\sqrt{5}) : \sqrt{5} = 11\sqrt{5} : \sqrt{5} = 11 \)

Задание 2

Преобразуйте выражение, считая, что все переменные принимают только неотрицательные значения:

a) \( 6\sqrt{x} - \frac{2}{3}\sqrt{9x} + 10\frac{\sqrt{x}}{4} \)

Преобразуем \(\sqrt{9x}\):

\( \sqrt{9x} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{x} = 3\sqrt{x} \)

Подставим в исходное выражение:

\( 6\sqrt{x} - \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{x} + \frac{10}{4}\sqrt{x} = 6\sqrt{x} - 2\sqrt{x} + \frac{5}{2}\sqrt{x} \)

\( (6 - 2 + \frac{5}{2})\sqrt{x} = (4 + 2.5)\sqrt{x} = 6.5\sqrt{x} \)

б) \( (\sqrt{ab} + \sqrt{b}) : \sqrt{b} \)

Разделим каждое слагаемое в скобках на \(\sqrt{b}\):

\( \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{ab}{b}} + 1 = \sqrt{a} + 1 \)

Ответ: 1. a) \(8\sqrt{3}\), б) \(\sqrt{7}(2 - \sqrt{3})\), в) -6, г) 11; 2. a) \(6.5\sqrt{x}\), б) \(\sqrt{a} + 1\)

Ты отлично справился с этими заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!