(2b) x²-4x-12<D 3x²-11X+6≥0 4x²+17x-15< 2x²+2x+1 (x+4) (x-6) < 2(x-3)(x+1) [x²-2x-48≤0 { X+4 <0

Решение математических неравенств.

1) Решим неравенство:

$$x^2-4x-12<0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2-4x-12=0$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=4$$

$$x_1x_2=-12$$

Корни: $$x_1=-2, x_2=6$$.

Решением неравенства является интервал между корнями:

$$x \in (-2;6)$$

2) Решим неравенство:

$$3x^2-11x+6 \ge 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$3x^2-11x+6=0$$

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49$$

$$x_1 = \frac{11 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3$$

$$x_2 = \frac{11 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Решением неравенства являются интервалы:

$$x \in (-\infty; \frac{2}{3}] \cup [3; +\infty)$$

3) Решим неравенство:

$$4x^2+17x-15 < 2x^2+2x+1$$

$$2x^2+15x-16 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$2x^2+15x-16 = 0$$

$$D = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-16) = 225 + 128 = 353$$

$$x_1 = \frac{-15 + \sqrt{353}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 + \sqrt{353}}{4}$$

$$x_2 = \frac{-15 - \sqrt{353}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 - \sqrt{353}}{4}$$

Решением неравенства является интервал:

$$x \in (\frac{-15 - \sqrt{353}}{4};\frac{-15 + \sqrt{353}}{4})$$

4) Решим неравенство:

$$(x+4)(x-6) < 2(x-3)(x+1)$$

$$x^2-2x-24 < 2(x^2-2x-3)$$ $$x^2-2x-24 < 2x^2-4x-6$$ $$0 < x^2-2x+18$$

$$x^2-2x+18 > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2-2x+18 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 4 - 72 = -68$$

Т.к. дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет корней.

Т.к. коэффициент при $$x^2$$ больше нуля, то парабола направлена вверх.

Следовательно, решением неравенства является множество всех действительных чисел:

$$x \in (-\infty; +\infty)$$

5) Решим систему неравенств:

$$\begin{cases} x^2-2x-48 \le 0\\x+4 < 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$x^2-2x-48 \le 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2-2x-48 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=2$$

$$x_1x_2=-48$$

Корни: $$x_1=-6, x_2=8$$.

Решением неравенства является интервал между корнями:

$$x \in [-6;8]$$

Решим второе неравенство:

$$x+4 < 0$$

$$x < -4$$

Решением системы неравенств является пересечение решений обоих неравенств:

$$x \in [-6;-4)$$

Ответ: Решения неравенств и системы неравенств выше.