Бригада железнодорожников в первый день отремонтировала \frac{2}{9} всего участка пути, во второй день — \frac{1}{7} оставшегося участка пути, а в третий — остальные 6 км. Сколько километров пути отремонтировала бригада за три дня?

Пусть x км – весь участок пути.

1. В первый день бригада отремонтировала \(\frac{2}{9}x\) км пути.
2. Оставшаяся часть пути после первого дня составляет \(x - \frac{2}{9}x = \frac{7}{9}x\) км.
3. Во второй день бригада отремонтировала \(\frac{1}{7}\) от оставшейся части, то есть \(\frac{1}{7} \cdot \frac{7}{9}x = \frac{1}{9}x\) км.
4. За два дня бригада отремонтировала \(\frac{2}{9}x + \frac{1}{9}x = \frac{3}{9}x = \frac{1}{3}x\) км.
5. Оставшаяся часть пути после двух дней составляет \(x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x\) км, и это равно 6 км.
6. Тогда, чтобы найти x, составим уравнение: \(\frac{2}{3}x = 6\).
7. Решим уравнение: \(x = 6 : \frac{2}{3} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9\) км.

Ответ: 9 км

Проверка за 10 секунд: В первый день бригада отремонтировала 2/9 участка, во второй – 1/7 от оставшегося, а в третий – 6 км. Складываем все части и убеждаемся, что в сумме получается 9 км.