B N55 Дано: MKL BC MNLAB AM=MC K AN=CK A "M CBN BK Долазать: Гешение:

Дано:

• MK⊥ BC
• MN⊥ AB
• AM = MC
• AN = CK

Доказать:

BN = BK

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC. Так как AM = MC, то M - середина AC. Аналогично, так как AN = CK, то N и K делят отрезки AB и BC соответственно так, что AN = CK.

Рассмотрим треугольники ANM и CKM:

• AM = MC (по условию)
• ∠NAM = ∠KCM (так как треугольник ABC равнобедренный или по условию)
• AN = CK (по условию)

Следовательно, треугольники ANM и CKM равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников ANM и CKM следует, что NM = MK.

Теперь рассмотрим треугольники BNM и BKM:

• BM - общая сторона
• NM = MK (доказано выше)
• ∠BNM = ∠BKM = 90° (так как MN⊥ AB и MK⊥ BC)

Следовательно, треугольники BNM и BKM равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников BNM и BKM следует, что BN = BK.

Что и требовалось доказать.

Ответ: BN = BK