24 Биссектрисы углов $$C$$ и $$D$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$N$$, лежащей на стороне $$AB$$. Докажите, что $$N$$ – середина $$AB$$.

Пусть $$ABCD$$ – параллелограмм, $$CN$$ – биссектриса угла $$C$$, $$DN$$ – биссектриса угла $$D$$, $$N$$ лежит на стороне $$AB$$. Нужно доказать, что $$N$$ – середина $$AB$$, то есть $$AN = NB$$.

Так как $$CN$$ – биссектриса угла $$C$$, то $$\angle DCN = \angle BCN$$. Так как $$ABCD$$ – параллелограмм, то $$BC \parallel AD$$, следовательно $$\angle CNB = \angle DCN$$ (как накрест лежащие углы). Отсюда $$\angle BCN = \angle CNB$$, значит, треугольник $$BCN$$ – равнобедренный, и $$BC = BN$$.

Так как $$DN$$ – биссектриса угла $$D$$, то $$\angle ADN = \angle CDN$$. Так как $$ABCD$$ – параллелограмм, то $$AD \parallel BC$$, следовательно $$\angle DNA = \angle CDN$$ (как накрест лежащие углы). Отсюда $$\angle ADN = \angle DNA$$, значит, треугольник $$ADN$$ – равнобедренный, и $$AD = AN$$.

Так как $$ABCD$$ – параллелограмм, то $$BC = AD$$. Следовательно, $$BN = AN$$, то есть $$N$$ – середина $$AB$$.

Ответ: Доказано