Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 11.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Краткое пояснение:

Найдем стороны параллелограмма, используя свойства биссектрис и параллельности.

1) Рассмотрим параллелограмм ABCD. Известно, что AB = 11, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC.

2) Так как AM - биссектриса угла A, то \(\angle\)BAM = \(\angle\)MAD.

3) Так как BM - биссектриса угла B, то \(\angle\)ABM = \(\angle\)MBC.

4) Так как AD || BC, то \(\angle\)MAD = \(\angle\)BMA как внутренние накрест лежащие углы. Значит, \(\angle\)BAM = \(\angle\)BMA.

5) Тогда треугольник ABM равнобедренный, и AB = BM = 11.

6) Так как AB || CD, то \(\angle\)ABM = \(\angle\)DMC как соответственные углы. Значит, \(\angle\)ABM = \(\angle\)MBC.

7) Тогда треугольник CDM равнобедренный, и CD = CM.

8) Так как ABCD - параллелограмм, то CD = AB = 11.

9) Тогда CM = 11.

10) Найдем BC. BC = BM + MC = 11 + 11 = 22.

11) Периметр параллелограмма P = 2 * (AB + BC) = 2 * (11 + 22) = 2 * 33 = 66.

12) Значит, периметр параллелограмма равен 66.

Проверь себя: Убедись, что углы и стороны соответствуют условию задачи.

Читерский прием: Сделай чертеж, чтобы визуализировать углы и стороны. Это поможет избежать ошибок.