Биссектриса угла АВС – это луч ВМ. Известно, что МА ⊥ ВА, МС ⊥ ВС, МА = МС, ∠AMC = 140°. Найди ∠ABM

Решение:

Дано, что BM - биссектриса угла ABC. MA \( \perp \) BA, MC \( \perp \) BC, MA = MC, \( \angle AMC = 140^{\circ} \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \).

Так как MA = MC и BM - общая сторона, а \( \angle BMA = \angle BMC \) (так как BM - биссектриса), то по стороне и двум углам (или по гипотенузе и катету, если считать, что \( \angle BAM = \angle BCM = 90^{\circ} \), что следует из условия перпендикулярности) треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \) равны.

Из равенства треугольников следует, что \( \angle ABM = \angle CBM \).

Также из равенства треугольников следует, что \( \angle AMB = \angle CMB \).

Так как \( \angle AMC = \angle AMB + \angle CMB = 140^{\circ} \) и \( \angle AMB = \angle CMB \), то \( \angle AMB = \angle CMB = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle ABM \). Мы знаем, что \( \angle BAM = 90^{\circ} \) (так как MA \( \perp \) BA), \( \angle AMB = 70^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Поэтому \( \angle ABM + \angle BAM + \angle AMB = 180^{\circ} \).

\( \angle ABM + 90^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ABM + 160^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ABM = 180^{\circ} - 160^{\circ} \)

\( \angle ABM = 20^{\circ} \)

Ответ: 20°.