Биссектриса угла А параллелограмма ABCD делит сторону ВС на отрезки ВК и КС, равные соответственно 5 см и 11 см. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

Пусть биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К. По условию, ВК = 5 см и КС = 11 см.

Длина стороны ВС равна сумме длин отрезков ВК и КС: \( BC = BK + KC = 5 \text{ см} + 11 \text{ см} = 16 \text{ см} \).

Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны равны: \( AD = BC = 16 \text{ см} \).

Биссектриса угла А делит угол пополам. Рассмотрим углы \(\angle BAK\) и \(\angle KAD\).

По свойству параллелограмма, стороны AB и CD параллельны, а сторона AD и BC параллельны. Также, сторона AB параллельна CD.

Рассмотрим параллельные прямые AD и BC, и секущую AK. Тогда \(\angle DAK = \angle AKB\) как накрест лежащие углы.

Так как AK — биссектриса угла A, то \(\angle BAK = \angle DAK\).

Из равенства \(\angle DAK = \angle AKB\) и \(\angle BAK = \angle DAK\) следует, что \(\angle BAK = \angle AKB\).

Следовательно, треугольник ABK равнобедренный, и стороны, лежащие против равных углов, равны: \( AB = BK = 5 \text{ см} \).

Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны равны: \( CD = AB = 5 \text{ см} \).

Периметр параллелограмма находится по формуле: \( P = 2(a + b) \), где a и b — длины смежных сторон.

В нашем случае, \( a = AB = 5 \text{ см} \) и \( b = BC = 16 \text{ см} \).

\( P = 2(AB + BC) = 2(5 \text{ см} + 16 \text{ см}) = 2(21 \text{ см}) = 42 \text{ см} \).

Ответ: Периметр параллелограмма равен 42 см.