25. Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 15 и МВ 16. Касательная к описанной окружности треугольника АВС, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

Для решения задачи 16 нам потребуется вспомнить теорему о касательной и секущей, а также теорему об отрезках секущих, проведенных из одной точки к окружности.

Решение:

1. По теореме о касательной и секущей, если из точки D проведена касательная DC и секущая DA к окружности, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: \[CD^2 = DA \cdot DB\]
2. Выразим DA через известные отрезки: \(DA = DM + MA\). Так как \(AM = 15\) и \(MB = 16\), то \(AB = AM + MB = 15 + 16 = 31\). Тогда \(DB = DA + AB\), или \(DA = AB + BM\) => \(DB = DA + 31\)
3. Подставим известные значения в уравнение: \[CD^2 = (DA) \cdot (DA + AB) = DA \cdot DB\] Мы знаем, что DA = DM + MA, MB=16 следовательно, нужно найти DM. Но, возможно, в условии опечатка и в 25 задаче подразумевалось \(AM = 15\) и \(MB = 16\) . При этом задача 16 не связана с 25. Допустим, что \(DA = x\), тогда \(DB = DA + AB= x+ 31\), тогда \(CD^2 = x(x+31)\) -- остается 2 неизвестных. Решить невозможно.

Ответ: Недостаточно данных для решения задачи. Необходимо уточнение условия.