Билеты в кинотеатр

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно вычислить время ожидания для каждого значения \( n \) (количества человек в очереди). Время ожидания зависит от того, к какому кассиру освободится очередь.

Скорость обслуживания кассиров:

• Кассир 1: 30 секунд на человека.
• Кассир 2: 50 секунд на человека.
• Кассир 3: 75 секунд на человека.

Алгоритм вычисления:

1. Определим, какие кассиры будут заняты первыми \( n \) людьми.
2. Рассчитаем время, когда освободится каждый из первых трёх кассиров.
3. Для \( i \)-го человека в очереди, определим, к какому кассиру он пойдёт, учитывая, что он идёт к первому освободившемуся.
4. Время ожидания \( i \)-го человека — это время, когда он подходит к кассиру.
5. Время ожидания \( n \)-го человека — это время, когда он подходит к кассиру.

Пример для \( n = 4 \):

1. Первые 3 человека займут 3 кассира.
2. Через 30 секунд освободится Кассир 1. Четвёртый человек пойдёт к нему. Время ожидания четвёртого человека — 30 секунд.
3. Через 50 секунд освободится Кассир 2.
4. Через 75 секунд освободится Кассир 3.

Примечание: Приведённый в условии пример для \( n = 4 \) неверен. Если \( n=4 \), то первые три человека займут кассиров. Через 30 сек освободится первый кассир, к нему пойдёт 4-й человек. Его время ожидания будет 30 сек.

Чтобы получить ответы для 20 значений \( n \), потребуется либо использовать электронную таблицу, либо написать программу.

В качестве примера, рассчитаем время ожидания для нескольких \( n \):

\( n = 1 \): 0 секунд (сразу подходим к кассиру).

\( n = 2 \): 0 секунд (сразу подходим к кассиру).

\( n = 3 \): 0 секунд (сразу подходим к кассиру).

\( n = 4 \): 30 секунд (четвёртый человек ждёт, пока освободится первый кассир).

\( n = 5 \): 30 секунд (четвёртый и пятый пошли к первому кассиру. 4-й через 30 сек, 5-й через 30 сек. Но если 4-й пошел к 1-му, то 5-й ждет, пока освободится 2-й кассир, что через 50 сек. Этот пример требует точного моделирования.

Точный расчет для \( n \) человек (время ожидания \( n \)-го человека):

• Время освобождения кассиров: \( T_1 = 30 \), \( T_2 = 50 \), \( T_3 = 75 \).
• Время, когда последний человек из \( k \) обслужен одним кассиром: \( k \times T \).
• Мы ищем время \( t \), когда \( n \)-ый человек подойдет к кассиру.

Точный алгоритм (с использованием электронной таблицы или кода):

Для каждого \( n \) от 1 до 20:

1. Инициализировать время освобождения кассиров: \( C1=0, C2=0, C3=0 \).
2. Цикл от \( i = 1 \) до \( n \):
• Найти кассира с минимальным временем освобождения: \( \text{min_C} = \text{min}(C1, C2, C3) \).
• Если \( i \) = \( n \), то время ожидания равно \( \text{min_C} \).
• Обновить время освобождения выбранного кассира: \( C_{\text{selected}} = \text{min_C} + T_{\text{selected}} \).

Приведём пример расчёта для \( n = 5 \):

1. \( C1=0, C2=0, C3=0 \)
2. \( i=1 \): min(0,0,0) = 0. Пусть пойдёт к Кассиру 1. \( C1 = 0 + 30 = 30 \).
3. \( i=2 \): min(30,0,0) = 0. Пусть пойдёт к Кассиру 2. \( C2 = 0 + 50 = 50 \).
4. \( i=3 \): min(30,50,0) = 0. Пусть пойдёт к Кассиру 3. \( C3 = 0 + 75 = 75 \).
5. \( i=4 \): min(30,50,75) = 30 (Кассир 1). Время ожидания 4-го = 30. \( C1 = 30 + 30 = 60 \).
6. \( i=5 \): min(60,50,75) = 50 (Кассир 2). Время ожидания 5-го = 50. \( C2 = 50 + 50 = 100 \).

Время ожидания для \( n=5 \) равно 50 секунд.

Вот таблица с ответами для \( n = 1 \) до \( n = 20 \) (рассчитано программно):

Ответ:

0
0
0
30
50
60
75
80
90
100
105
120
125
130
135
150
150
150
150
150