Билеты по геометрии 7 класс. 1 билет. 1. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. 2. В треугольнике BDC точка О лежит внутри треугольника на одинаковом расстоянии от вершин В и С. Треугольник BDC равносторонний. Доказать, что луч DO является биссектрисой угла BDC

Решение:

1. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Это означает, что она делит основание пополам и перпендикулярна ему.

2. Доказательство для треугольника BDC:

1. Дано: Треугольник BDC; точка O лежит внутри треугольника; расстояние от O до B равно расстоянию от O до C (OB = OC); треугольник BDC равносторонний.
2. Доказать: Луч DO является биссектрисой угла BDC.
3. Доказательство:
• Так как треугольник BDC равносторонний, то все его стороны равны (BD = DC = BC) и все его углы равны 60° (∠BDC = ∠DBC = ∠BCD = 60°).
• Поскольку точка O равноудалена от вершин B и C, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC.
• В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают.
• Рассмотрим треугольник BDC. Если мы проведем отрезок DO, то, так как треугольник равносторонний, DO будет являться одновременно медианой (если O - середина BC, но это не дано), высотой (если DO ⊥ BC) и биссектрисой (если ∠BDO = ∠CDO).
• Условие, что точка O равноудалена от B и C (OB = OC), означает, что треугольник OBC равнобедренный.
• В равностороннем треугольнике BDC, высота, медиана и биссектриса, проведенные из вершины D к основанию BC, совпадают.
• Если точка O равноудалена от B и C, то она лежит на биссектрисе угла BDC (и на медиане, и на высоте к BC).
• По свойству точки, равноудаленной от сторон угла, она лежит на биссектрисе этого угла. Однако, здесь точка O равноудалена от вершин B и C.
• В равностороннем треугольнике, точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности, центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка пересечения высот) равноудалена от всех вершин.
• Если O равноудалена от B и C, и при этом BDC - равносторонний, то O должна лежать на оси симметрии треугольника, которая проходит через вершину D и середину основания BC. Эта ось является биссектрисой угла BDC.
• Следовательно, луч DO совпадает с биссектрисой угла BDC.

Вывод: Луч DO является биссектрисой угла BDC, так как в равностороннем треугольнике точка, равноудаленная от двух вершин (B и C), лежит на оси симметрии, проходящей через третью вершину (D), которая является биссектрисой соответствующего угла.